📐 Beta e rendimento attivo
Beta misura quanto fortemente un portafoglio tende a seguire il suo benchmark, mentre il rendimento attivo isola la parte del risultato che il benchmark non spiega. Entrambi sono valori relativi: descrivono un portafoglio solo in compagnia della serie con cui è stato confrontato, e cambiano quando quella serie cambia.
🔢 Formula
Quattro quantità sono calcolate dalle due serie di rendimenti allineate — il portafoglio, \(p\), e la serie di confronto, \(b\).
Beta è la covarianza campionaria delle due serie divisa per la varianza della serie di confronto:
Entrambi i momenti usano gli stimatori non distorti \((N-1)\), quindi sono richieste almeno due osservazioni comuni.
Il rendimento attivo è la differenza tra i due rendimenti composti sull'intera finestra:
Il tracking error è la dispersione della differenza per periodo \(a_t = r_{p,t} - r_{b,t}\), annualizzata con il fattore misurato:
L'information ratio mette in relazione la media di quella differenza con la sua dispersione, annualizzata sulla stessa base:
Il fattore \(f\) è lo stesso fattore di annualizzazione osservato usato ovunque altro nell'analisi — calcolato dai dati anziché ipotizzato. Vedi Annualizzazione osservata.
Le due serie devono essere allineate
Entrambe le serie vengono confrontate punto per punto, quindi devono coprire le stesse osservazioni: un confronto viene calcolato solo quando le due serie hanno la stessa lunghezza e almeno due osservazioni. L'allineamento viene eseguito prima che si arrivi alle metriche, ed è per questo che un risultato che ha usato una finestra abbreviata lo segnala tramite il suo conteggio delle osservazioni anziché tramite un confronto spostato silenziosamente.
🚫 Quando il beta non ha valore
Il beta non è sempre definito, e quando non lo è, non viene pubblicato alcun numero.
Una serie di confronto con varianza nulla non produce alcun beta. Il beta esprime come il portafoglio risponde ai movimenti della serie di confronto; una serie che non si muove non offre nulla a cui rispondere. Matematicamente il denominatore si annulla, e qualsiasi valore restituito al suo posto sarebbe un artefatto dell'aritmetica anziché una misurazione. Il risultato segnala invece l'assenza.
La stessa disciplina si applica all'information ratio: se la differenza per periodo tra le due serie non varia mai, la sua dispersione è zero, e il rapporto non viene pubblicato anziché essere forzato.
Un valore assente è un risultato
Un beta mancante non è un fallimento del calcolo — è ciò che i dati supportano. Leggerlo come "nessuna relazione" sarebbe la conclusione sbagliata: significa che la serie di confronto non ha fornito alcuna variazione rispetto alla quale una relazione potesse essere misurata in alcun modo.
➗ Il rendimento attivo è una differenza di rendimenti composti
L'ordine delle operazioni conta, ed è la fonte della più comune errata interpretazione di questo numero. Il rendimento attivo applica la capitalizzazione composta a ogni serie sulla finestra prima e sottrae dopo. Non è la capitalizzazione composta delle differenze per periodo.
Ne derivano tre conseguenze.
Non si somma nel tempo. Il rendimento attivo di un anno non è la somma — né la capitalizzazione composta — dei rendimenti attivi dei suoi mesi. Ogni valore appartiene alla finestra su cui è stato calcolato, e le finestre non possono essere concatenate.
Non è il rendimento di una strategia. Non è ciò che un investitore avrebbe guadagnato detenendo il portafoglio e vendendo allo scoperto il benchmark: quella posizione capitalizzerebbe la differenza, e comporterebbe anche effetti di finanziamento e ribilanciamento che nessuna sottrazione di due rendimenti composti può rappresentare.
Non si scompone in abilità. Il rendimento attivo afferma che il portafoglio ha chiuso la finestra avanti o indietro rispetto al suo confronto, di quell'importo. Non attribuisce nulla: il divario può derivare da esposizioni diverse, da timing diverso, o da un confronto che non è mai stato un metro di paragone appropriato fin dall'inizio.
💡 Interpretazione
Beta descrive la sensibilità, non la qualità. Un beta di \(1\) significa che il portafoglio ha teso a muoversi in rapporto uno-a-uno con la serie di confronto; sotto \(1\) si è mosso meno della serie, sopra \(1\) di più. Il segno conta più di qualsiasi soglia: un beta negativo significa che il portafoglio ha teso a muoversi nella direzione opposta.
Vale la pena separare il beta dalla correlazione, perché vengono facilmente confusi. Dalle definizioni di cui sopra, \(\beta = \rho_{p,b} \times \dfrac{\sigma_p}{\sigma_b}\): la correlazione cattura solo la direzione della relazione, mentre il beta porta con sé anche il rapporto tra le due volatilità. Un portafoglio può seguire da vicino il proprio confronto e avere comunque un beta lontano da \(1\) semplicemente perché fluttua più, o meno, della serie che segue. Vedi Correlazione.
Il rendimento attivo è la distanza tra i due traguardi, misurata sulla finestra.
Il tracking error è quanto costantemente è stata percorsa quella distanza. È la volatilità della differenza, quindi un valore elevato indica che il portafoglio si è discostato dal proprio confronto frequentemente o bruscamente — in entrambe le direzioni, poiché è una dispersione e non porta segno.
L'information ratio mette insieme le due cose: esprime la differenza media per periodo in unità della propria dispersione, annualizzata. Un rapporto più alto significa che la differenza era più regolare rispetto a quanto variava; un rapporto vicino a zero significa che la differenza, qualunque sia il suo segno, è piccola rispetto alla variazione che la circonda. Nessun valore è buono o cattivo di per sé — il valore dipende dalla lunghezza della finestra e dal confronto scelto, e lo stesso numero misurato su una finestra diversa non è la stessa affermazione.
⚠️ Limitazioni
Ogni valore qui eredita il proprio benchmark
Beta, rendimento attivo, tracking error e information ratio sono tutti misurati rispetto a una serie di confronto. Cambia la serie e ognuno di essi cambia, senza che nulla del portafoglio sia cambiato. Un valore relativo citato senza indicare rispetto a cosa è stato misurato è incompleto. Vedi Selezione del benchmark.
Beta vede una linea retta, su una finestra
Il beta è la pendenza di una relazione lineare stimata sul periodo osservato. Un portafoglio il cui comportamento differisce tra condizioni calme e condizioni di stress viene riassunto da una singola pendenza che non descrive né le une né le altre. E poiché è stimato, una finestra breve produce un valore che riflette la particolare sequenza che la finestra si è trovata a contenere.
La sensibilità non è una spiegazione
Un beta vicino a \(1\) dice che il portafoglio si è mosso con la serie di confronto; non dice che la serie guida il portafoglio, né che il resto è abilità. Due serie possono muoversi insieme per una causa comune senza alcuna relazione tra loro — la stessa cautela che si applica alla correlazione vale qui, con in più il rapporto tra le volatilità.
🔗 Correlati
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- 🔗 Correlazione — direzione della relazione, con il rapporto tra le volatilità rimosso
- 📊 Volatilità — la dispersione che trasforma una correlazione in un beta
- 📏 Annualizzazione osservata — il fattore misurato usato per annualizzare tracking error e information ratio