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📈 Rendimenti e Tassi di Crescita

Questa pagina copre le basi matematiche dei rendimenti degli investimenti — come misurare, confrontare e annualizzare i tassi di crescita. Questi concetti sono utilizzati in tutti gli strumenti di misurazione e nelle analisi di portafoglio di LibreFolio.

📊 Rendimento Semplice (Discreto)

Il rendimento semplice in un periodo è la variazione percentuale:

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Se EUR/USD passa da 1,10 a 1,14:

\[R = \frac{1,14 - 1,10}{1,10} = 0,0364 = 3,64\%\]

📊 Proprietà

  • Intuitivo: rappresenta direttamente "quanto si è guadagnato/perso"
  • Non additivo: non è possibile sommare semplicemente i rendimenti semplici tra i periodi per ottenere il rendimento totale
  • Capitalizzazione: i rendimenti su più periodi devono essere moltiplicati, non sommati
\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendimento Logaritmico (Continuo)

Il rendimento logaritmico è il logaritmo naturale del rapporto tra i prezzi:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Proprietà

  • Additivo nel tempo: rendimento log totale = somma dei rendimenti log dei sotto-periodi
\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]
  • Simmetrico: un movimento del +5% seguito da un movimento del −5% riporta esattamente al punto di partenza
  • Approssimativamente uguale al rendimento semplice per valori piccoli: \(r_{log} \approx R_{simple}\) quando \(R_{simple}\) è piccolo

🔄 Conversione

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendimento Annualizzato

Per confrontare i rendimenti tra diversi periodi di tempo, li annualizziamo — proiettando il tasso di crescita osservato su un intero anno.

📈 Tasso di Crescita Annuale Composto (CAGR)

Il metodo di annualizzazione più comune. Dato un rendimento totale su \(d\) giorni solari:

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

Questo è ciò che visualizza lo strumento Misure di LibreFolio.

Example

EUR/USD passa da 1,10 a 1,14 in 90 giorni:

\[R_{annual} = \left(\frac{1,14}{1,10}\right)^{365/90} - 1 = (1,0364)^{4,056} - 1 \approx 15,5\%\]

📐 Rendimento Log Annualizzato

Per i rendimenti logaritmici, l'annualizzazione è un semplice ridimensionamento:

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Questa linearità è uno dei vantaggi chiave dei rendimenti logaritmici nella finanza quantitativa.

🔄 Relazione tra Rendimenti Semplici e Logaritmici

Proprietà Rendimento Semplice \(R\) Rendimento Log \(r\)
Capitalizzazione Moltiplicativa: \((1+R_1)(1+R_2)\) Additiva: \(r_1 + r_2\)
Simmetria Asimmetrica: +10% poi −10% ≠ 0 Simmetrica: +10% poi −10% = 0
Annualizzazione \((1+R)^{365/d} - 1\) \(r \times 365/d\)
Rendimenti portafoglio La somma ponderata è applicabile ✅ La somma ponderata non è applicabile ❌
Serie temporali Non additiva ❌ Additiva ✅
Interpretazione "Ho guadagnato il 5%" "Il tasso di crescita log era 0,0488"

Quale usare?

  • Rendimenti semplici per i report agli utenti e per il calcolo dei rendimenti a livello di portafoglio
  • Rendimenti logaritmici per l'analisi statistica, la stima della volatilità e i modelli di serie temporali

📏 Convenzioni di Conteggio dei Giorni

Il numero di giorni \(d\) può essere calcolato diversamente a seconda della convenzione:

  • Actual/365: Giorni solari (quello usato da LibreFolio)
  • Actual/360: Giorni solari su un anno di 360 giorni (comune nei mercati monetari)
  • 30/360: Assume mesi di 30 giorni e un anno di 360 giorni

Per maggiori dettagli, vedi Convenzioni di Conteggio dei Giorni.

💰 Metodi di Rendimento del Portafoglio

Quando un portafoglio ha flussi di cassa (depositi, prelievi), una singola formula di rendimento non è sufficiente, poiché gli apporti o i prelievi di capitale diluirebbero o gonfierebbero artificialmente il rendimento percentuale.

Per risolvere questo problema, vengono utilizzate metriche di performance avanzate: - TWRR (Time-Weighted Rate of Return): Isola la performance degli asset, ignorando il tempismo dei flussi di cassa dell'investitore. - MWRR (Money-Weighted Rate of Return): Misura la performance personale dell'investitore, tenendo conto del tempismo dei flussi di cassa.

Per un approfondimento su come funzionano queste metriche, perché differiscono e come LibreFolio le utilizza, consulta il capitolo dedicato Metriche di Performance.

⚠️ Insidie

  1. Periodi molto brevi: L'annualizzazione di un rendimento di 3 giorni può produrre cifre fuorvianti (es. un movimento dello 0,1% in 3 giorni → 12,5% annualizzato)
  2. Prezzi negativi: I rendimenti logaritmici non sono definiti per valori negativi — non è un problema per i tassi FX
  3. Frequenza di capitalizzazione: Il CAGR assume una capitalizzazione continua; gli strumenti reali possono prevedere una capitalizzazione giornaliera, mensile o trimestrale