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📈 Rendimientos y Tasas de Crecimiento

Esta página cubre los fundamentos matemáticos de los rendimientos de inversión: cómo medir, comparar y anualizar las tasas de crecimiento. Estos conceptos se utilizan en todas las herramientas de medición y analítica de cartera de LibreFolio.

📊 Rendimiento Simple (Discreto)

El rendimiento simple durante un periodo es el cambio porcentual:

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Si el EUR/USD se mueve de 1.10 a 1.14:

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Propiedades

  • Intuitivo: representa directamente "cuánto se ganó/perdió"
  • No es aditivo en el tiempo: no se pueden sumar simplemente los rendimientos simples de varios periodos para obtener el rendimiento total
  • Capitalización: los rendimientos de periodos múltiples deben multiplicarse, no sumarse
\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendimiento Logarítmico (Continuo)

El rendimiento logarítmico es el logaritmo natural de la relación de precios:

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propiedades

  • Aditivo en el tiempo: el rendimiento logarítmico total = la suma de los rendimientos logarítmicos de los subperiodos
\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]
  • Simétrico: un movimiento del +5% seguido de un movimiento del −5% regresa exactamente al punto de partida
  • Aproximadamente igual al rendimiento simple para valores pequeños: \(r_{log} \approx R_{simple}\) cuando \(R_{simple}\) es pequeño

🔄 Conversión

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendimiento Anualizado

Para comparar rendimientos entre diferentes periodos de tiempo, los anualizamos, proyectando la tasa de crecimiento observada a un año completo.

📈 Tasa de Crecimiento Anual Compuesta (CAGR)

El método de anualización más común. Dado un rendimiento total durante \(d\) días naturales:

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

Esto es lo que muestra la herramienta de medida de LibreFolio.

Example

El EUR/USD se mueve de 1.10 a 1.14 en 90 días:

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendimiento Logarítmico Anualizado

Para los rendimientos logarítmicos, la anualización es simplemente un escalado:

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Esta linealidad es una de las ventajas clave de los rendimientos logarítmicos en las finanzas cuantitativas.

🔄 Relación Entre Rendimientos Simples y Logarítmicos

Propiedad Rendimiento Simple \(R\) Rendimiento Log \(r\)
Capitalización Multiplicativa: \((1+R_1)(1+R_2)\) Aditiva: \(r_1 + r_2\)
Simetría Asimétrica: +10% luego −10% ≠ 0 Simétrica: +10% luego −10% = 0
Anualización \((1+R)^{365/d} - 1\) \(r \times 365/d\)
Rendimientos de cartera La suma ponderada funciona ✅ La suma ponderada no funciona ❌
Series temporales No es aditiva ❌ Aditiva ✅
Interpretación "Gané el 5%" "La tasa de crecimiento logarítmico fue 0.0488"

¿Cuándo usar cuál?

  • Rendimientos simples para reportar a los usuarios y calcular rendimientos a nivel de cartera
  • Rendimientos logarítmicos para análisis estadísticos, estimación de volatilidad y modelos de series temporales

📏 Convenciones de Recuento de Días

El número de días \(d\) puede computarse de manera diferente según la convención:

  • Actual/365: Días naturales (lo que utiliza LibreFolio)
  • Actual/360: Días naturales sobre un año de 360 días (común en mercados monetarios)
  • 30/360: Asume meses de 30 días y un año de 360 días

Para más detalles, consulte Convenciones de Recuento de Días.

💰 Métodos de Rendimiento de Cartera

Cuando una cartera tiene flujos de caja (depósitos, retiros), una sola fórmula de rendimiento no es suficiente, ya que las inyecciones o retiros de capital diluirían o inflarían artificialmente el rendimiento porcentual.

Para solucionar esto, se utilizan métricas de rendimiento avanzadas: - TWRR (Time-Weighted Rate of Return): Aísla el rendimiento de los activos, ignorando el momento de los flujos de caja del inversor. - MWRR (Money-Weighted Rate of Return): Mide el rendimiento personal del inversor, teniendo en cuenta el momento de los flujos de caja.

Para profundizar en cómo funcionan estas métricas, por qué difieren y cómo las utiliza LibreFolio, consulte el capítulo dedicado a Métricas de Rendimiento.

⚠️ Errores Comunes

  1. Periodos muy cortos: Anualizar un rendimiento de 3 días puede producir cifras engañosas (por ejemplo, un movimiento del 0.1% en 3 días → 12.5% anualizado)
  2. Precios negativos: Los rendimientos logarítmicos no están definidos para valores negativos, aunque esto no es un problema para los tipos de cambio
  3. Frecuencia de capitalización: El CAGR asume una capitalización continua; los instrumentos del mundo real pueden capitalizar diaria, mensual o trimestralmente