📈 Rendements et Taux de Croissance

Cette page couvre les fondements mathématiques des rendements d'investissement — comment mesurer, comparer et annualiser les taux de croissance. Ces concepts sont utilisés dans l'ensemble des outils de mesure et des analyses de portefeuille de LibreFolio.

📊 Rendement Simple (Discret)

Le rendement simple sur une période est la variation en pourcentage :

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Si l'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 :

\[R = \frac{1.14 - 1.10}{1.10} = 0.0364 = 3.64\%\]

📊 Propriétés

Intuitif : représente directement « combien vous avez gagné/perdu »
Non additif : vous ne pouvez pas simplement additionner les rendements simples sur plusieurs périodes pour obtenir le rendement total
Composition : les rendements multi-périodes doivent être multipliés, et non additionnés

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendement Logarithmique (Continu)

Le rendement logarithmique est le logarithme naturel du ratio des prix :

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propriétés

Additif dans le temps : rendement logarithmique total = somme des rendements logarithmiques des sous-périodes

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Symétrique : une hausse de +5 % suivie d'une baisse de −5 % revient exactement au point de départ
Approximativement égal au rendement simple pour les petites valeurs : \(r_{log} \approx R_{simple}\) lorsque \(R_{simple}\) est faible

🔄 Conversion

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendement Annualisé

Pour comparer des rendements sur différentes périodes, nous les annualisons — en projetant le taux de croissance observé sur une année entière.

📈 Taux de Croissance Annuel Composé (CAGR)

La méthode d'annualisation la plus courante. Étant donné un rendement total sur \(d\) jours calendaires :

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

C'est ce que l' outil de mesure de LibreFolio affiche.

Example

L'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 sur 90 jours :

\[R_{annual} = \left(\frac{1.14}{1.10}\right)^{365/90} - 1 = (1.0364)^{4.056} - 1 \approx 15.5\%\]

📐 Rendement Log Annualisé

Pour les rendements logarithmiques, l'annualisation est simplement une mise à l'échelle :

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Cette linéarité est l'un des avantages clés des rendements logarithmiques en finance quantitative.

🔄 Relation Entre Rendements Simples et Log

Propriété	Rendement Simple \(R\)	Rendement Log \(r\)
Composition	Multiplicative : \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additive : \(r_1 + r_2\)
Symétrie	Asymétrique : +10 % puis −10 % ≠ 0	Symétrique : +10 % puis −10 % = 0
Annualisation	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendements de portefeuille	La somme pondérée fonctionne ✅	La somme pondérée ne fonctionne pas ❌
Séries temporelles	Non additif ❌	Additif ✅
Interprétation	« J'ai gagné 5 % »	« Le taux de croissance log était de 0,0488 »

Lequel utiliser ?

Rendements simples pour le reporting aux utilisateurs et le calcul des rendements au niveau du portefeuille
Rendements log pour l'analyse statistique, l'estimation de la volatilité et les modèles de séries temporelles

📏 Conventions de Comptage des Jours

Le nombre de jours \(d\) peut être calculé différemment selon la convention :

Actual/365 : Jours calendaires (ce que LibreFolio utilise)
Actual/360 : Jours calendaires sur une année de 360 jours (courant sur les marchés monétaires)
30/360 : Suppose des mois de 30 jours et une année de 360 jours

Pour plus de détails, voir Conventions de Comptage des Jours.

💰 Méthodes de Rendement de Portefeuille

Lorsqu'un portefeuille comporte des flux de trésorerie (dépôts, retraits), une seule formule de rendement ne suffit pas. Deux méthodes existent pour isoler la performance des effets des flux de trésorerie :

⏱️ Rendement Pondéré dans le Temps (TWR)

Élimine l'effet des flux de trésorerie en calculant les rendements des sous-périodes entre chaque événement de flux et en les enchaînant :

\[ R_{TWR} = \prod_{i=1}^{n} (1 + r_i) - 1 \]

Mesure la performance pure du portefeuille indépendamment du moment des dépôts/retraits
Utilisé par les gestionnaires de fonds pour le benchmarking (conforme aux normes GIPS)
Non affecté par le comportement de l'investisseur (ajouter de l'argent aux sommets, retirer aux creux)

💵 Rendement Pondéré par l'Argent (MWR / IRR)

Prend en compte le moment et la taille des flux de trésorerie — le taux de rendement interne qui ramène la NPV de tous les flux à zéro :

\[ 0 = \sum_{i=0}^{n} \frac{CF_i}{(1 + r)^{t_i}} \]

où \(CF_i\) est chaque flux de trésorerie (dépôts positifs, retraits négatifs, valeur finale du portefeuille positive).

Mesure l'expérience spécifique de l'investisseur (votre rendement réel compte tenu du moment où vous avez ajouté/retiré des fonds)
Pénalise un mauvais timing (déposer aux plus hauts, retirer aux plus bas)
Utilisé pour la performance d'un portefeuille personnel

Lequel utilise LibreFolio ?

LibreFolio calculera à la fois le TWR et le MWR dans le tableau de bord d'analyse du portefeuille. Le TWR pour la comparaison avec les benchmarks, le MWR pour l'évaluation de la performance personnelle.

⚠️ Pièges

Périodes très courtes : Annualiser un rendement sur 3 jours peut produire des chiffres trompeurs (ex: un mouvement de 0,1 % sur 3 jours → 12,5 % annualisé)
Prix négatifs : Les rendements log sont indéfinis pour les valeurs négatives — ce n'est pas un problème pour les taux FX
Fréquence de composition : Le CAGR suppose une composition continue ; les instruments du monde réel peuvent composer quotidiennement, mensuellement ou trimestriellement