📈 Rendements & Taux de Croissance

Cette page couvre les fondements mathématiques des rendements d'investissement — comment mesurer, comparer et annualiser les taux de croissance. Ces concepts sont utilisés dans l'ensemble des outils de mesure et des analyses de portefeuille de LibreFolio.

📊 Rendement Simple (Discret)

Le rendement simple sur une période est la variation en pourcentage :

\[ R_{simple} = \frac{P_{end} - P_{start}}{P_{start}} = \frac{P_{end}}{P_{start}} - 1 \]

Example

Si l'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 :

\[R = \frac{1,14 - 1,10}{1,10} = 0,0364 = 3,64\%\]

📊 Propriétés

Intuitif : représente directement « combien vous avez gagné/perdu »
Non additif : on ne peut pas simplement additionner les rendements simples sur plusieurs périodes pour obtenir le rendement total
Capitalisation : les rendements multi-périodes doivent être multipliés, et non additionnés

\[ R_{total} = (1 + R_1)(1 + R_2) \cdots (1 + R_n) - 1 \]

📐 Rendement Logarithmique (Continu)

Le rendement logarithmique est le logarithme naturel du ratio de prix :

\[ r_{log} = \ln\left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right) = \ln(P_{end}) - \ln(P_{start}) \]

📊 Propriétés

Additif dans le temps : rendement logarithmique total = somme des rendements logarithmiques des sous-périodes

\[ r_{total} = r_1 + r_2 + \cdots + r_n \]

Symétrique : une hausse de +5 % suivie d'une baisse de −5 % revient exactement au point de départ
Approximativement égal au rendement simple pour les petites valeurs : \(r_{log} \approx R_{simple}\) quand \(R_{simple}\) est faible

🔄 Conversion

\[ r_{log} = \ln(1 + R_{simple}) \qquad R_{simple} = e^{r_{log}} - 1 \]

📅 Rendement Annualisé

Pour comparer les rendements sur différentes périodes temporelles, nous les annualisons — en projetant le taux de croissance observé sur une année complète.

📈 Taux de Croissance Annuel Composé (CAGR)

La méthode d'annualisation la plus courante. Étant donné un rendement total sur \(d\) jours calendaires :

\[ R_{annual} = \left(\frac{P_{end}}{P_{start}}\right)^{365/d} - 1 \]

C'est ce que l'outil Mesures de LibreFolio affiche.

Example

L'EUR/USD passe de 1,10 à 1,14 sur 90 jours :

\[R_{annual} = \left(\frac{1,14}{1,10}\right)^{365/90} - 1 = (1,0364)^{4,056} - 1 \approx 15,5\%\]

📐 Rendement Log Annualisé

Pour les rendements logarithmiques, l'annualisation est simplement une mise à l'échelle :

\[ r_{annual} = r_{log} \times \frac{365}{d} \]

Cette linéarité est l'un des avantages clés des rendements logarithmiques en finance quantitative.

🔄 Relation Entre Rendements Simples et Logarithmiques

Propriété	Rendement Simple \(R\)	Rendement Logarithmique \(r\)
Capitalisation	Multiplicative : \((1+R_1)(1+R_2)\)	Additive : \(r_1 + r_2\)
Symétrie	Asymétrique : +10 % puis −10 % ≠ 0	Symétrique : +10 % puis −10 % = 0
Annualisation	\((1+R)^{365/d} - 1\)	\(r \times 365/d\)
Rendements de portefeuille	Somme pondérée fonctionne ✅	Somme pondérée ne fonctionne pas ❌
Séries temporelles	Non additif ❌	Additif ✅
Interprétation	« J'ai gagné 5 % »	« Le taux de croissance log était de 0,0488 »

Lequel utiliser ?

Rendements simples pour le reporting aux utilisateurs et le calcul des rendements au niveau du portefeuille
Rendements logarithmiques pour l'analyse statistique, l'estimation de la volatilité et les modèles de séries temporelles

📏 Conventions de Comptage des Jours

Le nombre de jours \(d\) peut être calculé différemment selon la convention :

Actual/365 : Jours calendaires (ce que LibreFolio utilise)
Actual/360 : Jours calendaires sur une année de 360 jours (courant sur les marchés monétaires)
30/360 : Suppose des mois de 30 jours et une année de 360 jours

Pour plus de détails, voir Conventions de Comptage des Jours.

💰 Méthodes de Rendement de Portefeuille

Lorsqu'un portefeuille comporte des flux de trésorerie (dépôts, retraits), une seule formule de rendement ne suffit pas, car les injections ou retraits de capital dilueraient ou gonfleraient artificiellement le rendement en pourcentage.

Pour résoudre ce problème, des mesures de performance avancées sont utilisées : - TWRR (Time-Weighted Rate of Return) : Isole la performance des actifs, en ignorant le moment des flux de trésorerie de l'investisseur. - MWRR (Money-Weighted Rate of Return) : Mesure la performance personnelle de l'investisseur, en tenant compte du moment des flux de trésorerie.

Pour approfondir le fonctionnement de ces mesures, pourquoi elles diffèrent et comment LibreFolio les utilise, consultez le chapitre dédié aux Mesures de Performance.

⚠️ Pièges

Périodes très courtes : Annualiser un rendement sur 3 jours peut produire des chiffres trompeurs (ex : un mouvement de 0,1 % sur 3 jours → 12,5 % annualisé)
Prix négatifs : Les rendements logarithmiques sont indéfinis pour les valeurs négatives — ce n'est pas un problème pour les taux FX
Fréquence de capitalisation : Le CAGR suppose une capitalisation continue ; les instruments réels peuvent capitaliser quotidiennement, mensuellement ou trimestriellement