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📊 Volatilité

La volatilité mesure la dispersion des rendements — l'ampleur des fluctuations du prix d'un actif dans le temps. C'est la mesure de risque la plus fondamentale en finance et la brique de base de presque toutes les autres mesures de risque.

🔢 Formule

📐 Écart-type des rendements

\[ \sigma = \sqrt{\frac{1}{N-1} \sum_{i=1}^{N} (R_i - \bar{R})^2} \]

où \(R_i\) sont les rendements individuels de chaque période et \(\bar{R}\) est le rendement moyen.

📈 Annualisation

La volatilité par période est annualisée en la multipliant par la racine carrée du nombre de périodes contenues dans une année :

\[ \sigma_{annual} = \sigma_{period} \times \sqrt{f} \]

Le facteur \(f\) est mesuré à partir des données observées, et non fixé à l'avance : il correspond au nombre de rendements réellement utilisés, ramené à une année civile complète sur la période qu'ils couvrent.

\[ f = \frac{N \times 365}{D} \]

où \(N\) est le nombre total de rendements de période et \(D\) le nombre de jours calendaires qu'ils couvrent.

Pourquoi une racine carrée ?

Les rendements sont supposés indépendants d'une période à l'autre. La variance d'une somme de \(f\) variables indépendantes est égale à \(f\) fois la variance individuelle. Par conséquent :

\[\text{Var}_{annual} = f \times \text{Var}_{period}\]
\[\sigma_{annual} = \sqrt{f} \times \sigma_{period}\]

√252 est un résultat, pas une constante

Une action cotée quotidiennement fournit environ 252 rendements sur une année civile complète, donc \(f = 252 \times 365 / 365 = 252\) et l'on retrouve le fameux \(\sqrt{252}\) — comme résultat de la mesure, et non comme hypothèse inscrite dans celle-ci. Un instrument coté chaque jour calendaire, comme les cryptos, donne \(f \approx 365\) et donc \(\approx \sqrt{365}\) : un \(\sqrt{252}\) codé en dur sous-estimerait sa volatilité annualisée. Un fonds coté hebdomadairement donne \(f \approx 52\).

→ Voir Annualisation observée pour la dérivation, les exemples détaillés et ce que la couverture y ajoute.

💡 Interprétation

Volatilité annualisée Actifs typiques
1-5 % Marché monétaire, obligations à court terme
5-15 % Obligations d'État, obligations d'entreprises de qualité (investment grade)
15-25 % Actions à grande capitalisation, ETF actions diversifiés
25-40 % Actions à petite capitalisation, actions individuelles
40-80 %+ Crypto, actions mèmes, produits à effet de levier

📊 Volatilité réalisée vs implicite

📈 Volatilité réalisée (historique)

Calculée à partir des données de prix passées. C'est ce que calcule LibreFolio :

\[ \sigma_{realized} = \text{StdDev}(\text{rendements historiques}) \]

🔮 Volatilité implicite

Extraite des prix d'options à l'aide du modèle de Black-Scholes. Elle représente l'anticipation du marché concernant la volatilité future :

\[ C = f(S, K, T, r, \sigma_{implied}) \]

La volatilité implicite est prospective, mais elle n'est disponible que pour les actifs optionnables.

🔄 Volatilité en fenêtre glissante

Plutôt que de calculer un seul chiffre de volatilité pour toute la période, la volatilité en fenêtre glissante calcule \(\sigma\) sur une fenêtre glissante (par ex., 30 jours), produisant une série temporelle qui montre l'évolution de la volatilité :

\[ \sigma_t^{(w)} = \text{StdDev}(R_{t-w+1}, R_{t-w+2}, \ldots, R_t) \]

Cela est utile pour :

  • Identifier les régimes de volatilité (périodes calmes vs turbulentes)
  • Détecter le clustering de volatilité (les jours à forte volatilité ont tendance à suivre les jours à forte volatilité)
  • Ajuster dynamiquement la taille des positions (réduire l'exposition pendant les périodes de forte volatilité)

📐 Volatilité et théorie du portefeuille

La volatilité joue un rôle central dans la théorie moderne du portefeuille :

  • Elle est le dénominateur du ratio de Sharpe
  • Elle détermine la largeur des bandes de Bollinger
  • Elle est la donnée d'entrée clé pour l'optimisation de portefeuille (minimiser \(\sigma_p\) pour un \(R_p\) cible)
  • La diversification réduit la volatilité du portefeuille lorsque les corrélations entre actifs sont inférieures à 1

⚠️ Limites

Volatilité ≠ Risque

La volatilité traite de la même manière les mouvements à la hausse et à la baisse. Un actif qui connaît fréquemment des pics à la hausse a une volatilité élevée mais peut être très attractif. Pour une mesure axée sur le risque de baisse, utilisez le ratio de Sortino ou la perte maximale.

Non-normalité

Les rendements financiers présentent généralement :

  • des queues épaisses (davantage d'événements extrêmes qu'une distribution normale n'en prédit)
  • une asymétrie négative (les fortes baisses sont plus fréquentes que les fortes hausses)
  • un clustering de volatilité (périodes calmes et turbulentes)

L'écart-type seul ne capture pas ces caractéristiques.