🧩 Contributo al Rischio
Il contributo al rischio attribuisce il rischio totale di portafoglio alle singole posizioni detenute, e ciò che ciascuna posizione contribuisce generalmente non coincide con la quota di portafoglio che essa rappresenta.
Conoscere i pesi non ti dice nulla di nuovo — sono visibili nel portafoglio stesso. Sapere da dove proviene il rischio di solito sì, perché il contributo di una posizione dipende da quanto è volatile e da come si muove insieme a tutto ciò con cui è detenuta.
🔢 Formula
La scomposizione parte dalla varianza di portafoglio scritta tramite la matrice di covarianza \(\Sigma\) dei rendimenti degli asset e il vettore dei pesi \(w\):
Da essa si derivano tre grandezze, in questo ordine:
| Grandezza | Si legge come | Risponde a |
|---|---|---|
| \(MCTR_i\) — marginale | Sensibilità della volatilità di portafoglio al peso di \(i\) | Se aggiungo un po' di questa posizione, quanto si muove il rischio totale? |
| \(CCTR_i\) — componente | Quella sensibilità moltiplicata per il peso effettivamente detenuto | Quanto del rischio totale porta questa posizione, in unità di volatilità? |
| \(PCTR_i\) — percentuale | La componente come quota della volatilità totale | Quale frazione del rischio del portafoglio è questa posizione? |
La grandezza marginale è la derivata \(\partial \sigma_p / \partial w_i\): descrive la prossima unità della posizione, non quella detenuta. La grandezza di componente è quella che descrive la posizione così com'è.
L'annualizzazione è applicata alla matrice di covarianza
Ogni elemento di \(\Sigma\) è moltiplicato per il fattore di annualizzazione osservato \(f\) prima che la scomposizione venga eseguita, così la volatilità di portafoglio e tutte e tre le grandezze di contributo risultano su base annuale. Scalare una covarianza per \(f\) è la forma matriciale della moltiplicazione di una deviazione standard per \(\sqrt{f}\) — la stessa operazione, e lo stesso fattore misurato, usati da Volatilità. Vedi Annualizzazione Osservata per capire da dove proviene \(f\).
➗ Perché le Parti si Sommano
I contributi di componente si sommano alla volatilità di portafoglio esattamente, e i contributi percentuali quindi si sommano a \(1\):
Non è un'approssimazione che risulta vicina, né una normalizzazione applicata a posteriori per forzare i numeri verso un totale tondo. È la scomposizione di Eulero, e vale perché \(\sigma_p\) è omogenea di grado 1 nei pesi: raddoppiando ogni peso raddoppia la volatilità di portafoglio. Qualsiasi funzione di questo tipo è recuperata esattamente dalla somma dei suoi argomenti moltiplicati per le sue derivate parziali, che è precisamente la somma qui sopra.
La conseguenza pratica è il motivo per cui la metrica viene pubblicata: poiché le quote sono esatte e sommano a uno, un contributo percentuale può essere confrontato direttamente con un peso. Una posizione pari al 10% del portafoglio che porta il 30% del rischio è un'affermazione che non contiene alcuna scalatura nascosta.
⚖️ Il Contributo Non È il Peso
I due numeri rispondono a domande diverse, e si separano per due ragioni che si compongono:
- Volatilità. Una posizione che si muove il doppio rispetto al resto porta più rischio per unità di capitale.
- Correlazione. Una posizione che si muove insieme alle altre aggiunge la propria volatilità a quella delle altre; una che si muove contro di esse in parte annulla ciò che fanno le altre. La stessa posizione, allo stesso peso, contribuisce in modo diverso a seconda delle altre posizioni con cui è detenuta.
Questa seconda ragione è il motivo per cui il contributo non può essere letto da una singola posizione in isolamento: \((\Sigma w)_i\) contiene ogni covarianza tra l'asset \(i\) e il resto del portafoglio, quindi cambiare una posizione non collegata cambia il contributo di questa.
Dove la metrica si guadagna il suo posto
Una piccola posizione in qualcosa di volatile e strettamente legato al resto del portafoglio può portare una quota di rischio parecchie volte superiore alla sua quota di capitale — e la vista di portafoglio non lo mostrerà mai, perché la vista di portafoglio mostra i pesi. Al contrario, una grande posizione che si muove fuori passo rispetto a tutto il resto può contribuire a molto meno rischio di quanto la sua dimensione suggerisca. La diversificazione è visibile qui in un modo che non lo è nella sola Correlazione: la correlazione dice quali coppie si muovono insieme, questa dice quanto ciò costa una volta tenuti in conto gli importi detenuti.
🧾 Cosa Devono Soddisfare gli Input
La scomposizione rifiuta gli input che non può onestamente scomporre. Questi sono confini dichiarati della prima ondata, non lacune lasciate per omissione:
| Requisito | Comportamento quando violato |
|---|---|
| I pesi devono essere non negativi | Rifiutato — le posizioni corte sono fuori dal contratto della prima ondata |
| La composizione non deve essere a leva | Rifiutato a monte — pesi degli asset superiori al 100% del valore dello scope sono fuori dal contratto |
| La matrice di covarianza deve essere simmetrica | Rifiutato, entro una tolleranza numerica per il rumore in virgola mobile |
| Le dimensioni della matrice devono corrispondere ai pesi | Rifiutato |
| Tutte le serie di rendimenti devono condividere un unico calendario comune | Rifiutato — la matrice di covarianza è costruita su un singolo calendario di osservazione |
Una posizione corta romperebbe l'aritmetica qui sopra in modo specifico: con pesi negativi, un contributo di componente può essere negativo, e una quota di "rischio totale" inferiore a zero non può essere letta come quota di alcunché. Rifiutare l'input è la risposta onesta finché il contratto di presentazione non copre quel caso.
La liquidità è gestita senza comparire affatto nella matrice. I pesi degli asset sommano a uno meno la quota di liquidità, quindi la volatilità calcolata è già quella dell'intero portafoglio, liquidità inclusa — e la liquidità non compare mai come contributore, perché una posizione che non si muove ha un contributo marginale pari a zero. La quota di liquidità è pubblicata accanto ai contributi così che il lettore possa vedere qual è il resto.
💡 Interpretazione
Leggi il contributo percentuale rispetto al peso, non da solo:
- contributo ≈ peso — la posizione porta la propria quota, niente di più
- contributo > peso — è una fonte concentrata di rischio rispetto al capitale impegnato su di essa
- contributo < peso — sta diluendo il rischio di portafoglio, o perché è calma o perché si muove diversamente dal resto
La grandezza marginale risponde a una domanda diversa ed è quella da usare quando si pensa a un cambiamento: dice cosa fa il prossimo euro in quella posizione alla volatilità totale. Una posizione può portare un grande contributo di componente semplicemente perché è grande, mentre il suo contributo marginale è insignificante.
⚠️ Limitazioni
Decompone la volatilità, non la perdita
Ogni grandezza in questa pagina è una quota della volatilità di portafoglio. La volatilità conta i movimenti in entrambe le direzioni, quindi una posizione che contribuisce al 30% del rischio non produce per ciò stesso il 30% di una qualsiasi perdita. I contributi a una misura di ribasso sono una scomposizione diversa, e questa non è quella. Per sapere cosa la fluttuazione cattura e cosa no, vedi Volatilità.
È un'istantanea della composizione attuale
I pesi sono quelli detenuti ora, e la matrice di covarianza è stimata sulla finestra analizzata. Il risultato descrive il portafoglio di oggi misurato rispetto a quella storia — non è un'affermazione su come il rischio fosse distribuito in passato, quando la composizione era diversa.
La matrice è una stima, e eredita la sua finestra
Le covarianze sono stimate da un campione finito su un unico calendario comune. Una finestra corta, un periodo turbolento, o un asset con una storia dei prezzi limitata produce una stima che un'altra finestra non riprodurrebbe, e ogni contributo deriva da quella stima. Le correlazioni in particolare sono note per muoversi quando i mercati sono sotto stress. Ogni risultato pubblica il numero di osservazioni e la finestra utilizzata — vedi Qualità dei Dati.
Volatilità zero restituisce zeri, non un risultato assente
Se la volatilità di portafoglio è indistinguibile da zero, tutte e tre le grandezze di contributo vengono restituite esattamente come zero. Questa è la risposta, non un segnaposto: non essendoci rischio da attribuire, ogni sua quota è genuinamente nulla. Vale la pena contrastarla con la pagina Beta e Rendimento Attivo, dove un benchmark privo di varianza non produce alcun valore — lì la grandezza sarebbe una divisione per zero, quindi non c'è nulla da riportare; qui la grandezza esiste ed è pari a zero.
🔗 Correlati
- 🔗 Correlazione — quali posizioni si muovono insieme, prima di tenere in conto gli importi
- 📊 Volatilità — il totale che viene decomposto
- 🎯 Concentrazione — quanto del portafoglio risiede in quante poche posizioni
- 🗓️ Annualizzazione Osservata — il fattore applicato alla matrice di covarianza
- 🧪 Qualità dei Dati — la finestra e le osservazioni su cui la matrice è stata stimata